现代数学的三大分支是:代数、几何、分析。

数学的定义是研究集合及集合上某种结构的学科,是形式科学的一种,集合论和逻辑学是它的基础,证明是它的灵魂。

由于它与自然科学尤其是物理学关系极为密切,有时数学也被归为自然科学六大基础学科之一。

集合

数学中未被定义的概念是集合,其他的一切都是有定义的。

数学的标准形式是公理法,即给集合和集合上的某结构下一组公理,其他的一切理论都由这组公理推导证明而来。

结构

集合上的结构就是定义在几何元素或子集之间的一些关系,原始分为三类:描述顺序关系的序结构,描述运算关系的代数结构,描述临近关系的拓扑结构

这些结构可以互相结合成为其他一些复杂的结构,比如几何结构,测度结构等等。

由这些结构构造出来的各种集合或者说空间,就是不同数学分支研究的内容。

代数

代数学研究具有若干代数结构的集合,比如群、环、体、域、模、格、线性空间、各种内积空间等等,这些结构最初都是由初等代数,或者说初等数论和方程式论的研究中抽象出来的。

代数学包括:初等代数、初等数论、高等(线性)代数、抽象代数(群论、环论、域论等)、表示论、多重线性代数、代数数论、解析数论、微分代数、组合论等等。

几何

几何学研究具有若干几何-拓扑结构的集合,比如仿射空间、拓扑空间、度量空间、仿射内积空间、射影空间、微分流形等。最初是由欧氏几何发展而来。

几何学包括:初等(欧氏综合)几何、解析几何、仿射几何、射影几何、古典微分几何、点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑、整体微分几何、代数几何等等。

分析

分析学研究带有若干拓扑-测度的集合,以及定义在这些集合上的函数空间,比如可测-测度空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间、概率空间等等,由微积分发展而来。

分析学包括:数学分析、常微分方程、复变函数论、实变函数论、偏微分方程、变分法、泛函分析、调和分析、概率论等等。

应用数学

信息论

密码学

计算数论

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文档更新时间: 2019-04-26 10:51